幻方：神秘的数字方阵

杜撰

如果将抽象、枯燥的数字按一定的规律摆成一个整齐的数字方阵，会出现奇特的现象，使人绞尽脑汁，而又感到妙趣横生。这种图不仅充满了数学学问，并且有着广泛的应用。这就是数学中的珍品——幻方。


最早的幻方古时候，在我国流传着这样一个神话：4000多年以前，大禹治水的时候，洛水（今陕西境内的一条河）里浮出了一只神龟，龟背上的花纹隐约可见一幅图案。
图上共有黑白圆圈45个，黑色表示阴（偶数），白色表示阳（奇数）。由于此图出自洛水，故被人们称作“洛书”。大禹获得此图后，按图上9个数的位置和关系确定治水方案，并进一步把它作为治理天下的准则。
关于这个传说不仅在《易经》里有记载，在汉代《孔安国传》里也有一段描述：“天与禹洛出书。神龟负文而出，列于背，有数至于九。禹遂因而第之以成九类常道。”此外，在孔子、墨子、庄子、司马迁等人的著作里都曾提到这个古老而神奇的传说。后来人们把洛书又称为“九宫图”。
公元6世纪前后有个叫甄鸾的数学家，他对洛书作了数学解释：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”按照这个说明，可知洛书实际上就是一个从1到9排成3行3列的数字表。甄鸾发现这个数字表不是随便排的，它有一个重要的规律，即每行、每列以及每条对角线上的三个数字之和都相等（等于15）。能满足这种特殊条件的数字方阵，就称为幻方。
甄鸾，河北无极县人，主要活动于公元6世纪上半叶，在北周王朝任司隶大夫、汉中郡守等职。他好学精思，通晓天文历法，撰写了多部数学著作，其中有三部被收入唐代数学教科书《算经十书》之中，成为中国古代著名的数学家和天文学家之一。在甄鸾对洛书做了解释之后，幻方作为一种填数游戏而流传于世。



组成幻方的条件虽然说神话传说之类不足为据，但作为旁证，它至少表明中国人很早就发现了幻方这种有趣的数字方阵。不仅如此，有大量证据表明，1—9的3×3幻方至少在汉代就已被发现。
在确定“幻方”这个名称之前，欧美等国称它为“魔方阵”，而中国古代把它叫做“纵横图”。国外研究幻方的构造大约从14世纪才开始，比我国要晚1000多年。目前所知外国人发现的最早幻方如下：
这两个幻方是用古阿拉伯数码铸在从中国出土的两块铁板上的。据推测，这两块铁板是由阿拉伯人札马鲁丁在中国监制成的。札马鲁丁是13世纪一位出色的阿拉伯天文学家，1267年他在中国曾向元朝皇帝忽必烈晋献《万年历》，并制造了七种阿拉伯的天文仪器。几年后又在内蒙古正蓝旗建立天文台，自任台长。他发现的幻方是自己的研究心得还是受中国幻方研究者的影响，这就不得而知了。
人们在研究幻方的过程中，逐步给它下了一个明确的定义：把从1到n2的连续自然数不遗漏也不重复地排列成n行n列的数字方阵，使其每行、每列以及两条对角线上n个数字之和，都等于一个定数，我们就把这样的数字方阵叫作n阶幻方。阶数n是大于2的任何一个自然数。关于这个定数，由幻方性质可以推出它的计算公式为
定数=n×（n2＋1）÷2．
例如：3阶幻方的定数=3×（32＋1）÷2＝15，
4阶幻方的定数=4×(42＋1）÷2＝34。
我国南宋时期有一位名叫杨辉的数学家，他对幻方的规律和构造方法作出了重要的贡献。他编写的一部算书中，有四阶、五阶、六阶直至十阶的幻方，而且幻方的概念也有了发展：既可以是方形的，也可以是圆形的；既可以是平面的，也可以是立体的，杨辉还画出了一个幻立方，它共有6个面，每面上的4个数字之和都等于18。
杨辉，杭州人，生活于13世纪中后期，是当时我国东南一带有名的数学家。他走到哪里都有人向他请教数学问题。从1261年到1275年，他先后编写了五种共21卷数学著作，其中有关幻方的研究是宋代研究幻方方面最重要的工作。宋元时期是中国古代传统数学发展的高峰时期，杨辉与秦九韶、李冶和朱世杰并称为“宋元数学四大名家”，为数学的发展做出了不可磨灭的贡献。



有趣的思维体操随着社会的进步和国际间文化的交流，各国数学家都先后开始了对幻方结构的研究，但很多人把它看成是一个神秘的魔方阵，认为它与占卜算命有关，甚至在某些地区还有人把它当作护身符。在中国，幻方更有着特殊的意义，因为它出自《易经》，在这部算命先生们奉为圣典的古籍中有明确记载，再加上它本身的神秘性，这就是占卜算卦的人把它画在方布上面的原因。
幻方最初似乎只是一种“思维体操”，可以培养人们学习数学的兴趣，开发智力，拓宽思路。到后来随着数学的发展和科学技术水平的提高，人们逐渐发现幻方同现代数学的一些分支，如群论、组合分析等有关。到了近代，幻方已经成为组合数学研究的一个有趣课题。组合数学是近现代数学学科的一个新分支，它一般研究有限个元素在某些事先约定的条件下如何排成一些有规律的集合或图案等问题。排列、组合、幻方等内容都属于组合数学的范畴。特别是从本世纪电子计算机出现之后，幻方已经在图论、程序设计、实验设计、对策论、概率统计、人工智能以及工艺美术等方面得到了广泛的应用。
1977年，美国发射的寻求外星文明的宇宙飞船“旅行者1号”和“旅行者2号”上，除了携带有向外星人致意的问候讯号外，还带有一些图片，其中一张图片上就是一个四阶幻方图。科学家们设想，如果我们的宇宙飞船飞到某个有高级智慧生物生存的星球上，用我们现在的语言和文字也许不能与他们直接交流；如果使用像幻方这样的图形，说不定可以与他们的思想沟通呢。

杜撰

我曾经尝试用幻方购买彩票，没有效果

杜撰

幻方是一种每行、列和对角线上的数字和均相等的图形.

杜撰

19阶幻方

杜撰

19 阶幻方，方阵的每行每列和两条对角线的数字之和都是 3439

杜撰

古今中外的很多数学家都研究过幻方，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝著名数学家杨辉．他深入探索各类幻方的奥秘，总结出构造幻方的简单法则，还动手构造了许多极为有趣的幻方，有名的“攒九图”就是他用前33个自然数构造而成的（下图）．攒九图有哪些性质呢？请动手算一算，每个圆圈上的数加起来是多少？每条直径上的数加起来又是多少？

杜撰

一百年前的1910年，一位叫阿当斯的青年人，对六角幻方产生了浓厚兴趣。他先去填简单的一层六角幻方（每边两个数），没有成功。经过研究，这种幻方是不存在的。于是，阿当斯便将精力集中在两层的六角幻方上（每边3个数）。他趁着在铁路公司阅览室当职员之便，利用一些空闲时间，去摆弄从1到19这19个数。冬去春来，度过了漫长的47个年头。经过了无数次的挫折、失败，使他由一个英俊少年，变成了白发苍苍的老头，但是他仍然不甘心失败，这就是兴趣的魔力。

1957年的一天，病中的阿当斯，在病床上无意中将六角幻方排列成功了。他惊喜万分，连忙找纸记录下来，了却了他多年的宿愿。几天后，他病愈出院。到家后却不幸地发现，他填的宝图不见了。

真是好事多磨，可是阿当斯没有灰心，他又继续奋斗了5年，终于在1962年12月的一天，有志者事竟成，阿当斯又重新填出了他盼望已久的宝图。

阿当斯随即将他的宝图拿给当时美国的幻方专家马丁·加德纳鉴定。面对这无与伦比的珍奇宝图，马丁博士欣喜万分，当即写信给才华横溢的数学游戏专家特里格。

特里格手捧宝图敬佩不已。这位专家也一头扎进了六角幻方，想在层数上作出突破。又耗费了不知多少心血，他才惊奇地发现，两层以上的六角幻方根本不存在。

1969年，滑铁卢大学二年级学生阿莱尔，对特里格的结论做出了严格的证明，并且把六角幻方的一切可能选择，输入电子计算机进行测试。仅用了17秒的时间，就得出了与阿当斯完全相同的结果。电子计算机向人类宣告：虽然普通幻方有千万种排法，但是，六角幻方却只有这一个，难怪阿当斯为之奋斗了52年。

今天，当我们重温这段轶事的时候，内心充满了对阿当斯无限的敬意，他那坚忍不拔的毅力，永远是我们学习的榜样。

下面就是这个耗费了他52年心血的来之不易的六角幻方。

心随自然50